Aksjomatyka liczb wymiernych
Friday, May 30th, 2008Uogólnieniem pojęcia liczności zbioru skończonego na wszelkie zbiory, oraz nieskończone, jest tzw. siła zbioru. Dwa plon A a B są równoliczne (mają tę samą moc), jeżeli elementy zbioru A jest dozwolone złączyć do wnętrza pary z elementami zbioru B, w istocie iżby wszystek element zbioru A a wszystek element zbioru B dotychczasowy wykorzystane razu jednego a tylko raz.praca
Na gruncie naiwnej (nie-aksjomatycznej) teorii mnogości stwierdza się, iż kwota kardynalna to wersja równoważności relacji równoliczności zbiorów. Wówczas siła zbioru to kwota kardynalna która jest klasą równoważności tego zbioru. Formalizacja tego podejścia na gruncie ZF jest cokolwiek złożona, skoro w istocie zdefiniowane liczby kardynalne nie byłyby zbiorami, a klasami właściwymi. Nawet używając formalizacji teorii mnogości dozwalającej na przeznaczenie klas, nie moglibyśmy zdefiniować klasy wszystkich liczb kardynalnych, wypada w następstwie tego nakładać kaganiec się do \\\\\\”fragmentów początkowych\\\\\\” klas równoważności a zwalczyć łańcuch technicznych komplikacji.
Z tego powodu, na gruncie aksjomatycznej teorii mnogości definiuje się liczby kardynalne do wnętrza trochę cudzoziemski sposób: kwota kardynalna to tzw początkowa kwota porządkowa, czyli taka kwota porządkowa, która nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od momentu niej mniejszą (równoważnie: kwota porządkowa która nie jest równoliczna z żadnym swoim elementem). Przy założeniu AC, wszystek kompilacja jest równoliczny z pewną (tak zdefiniowaną) liczbą kardynalną nazywaną mocą tego zbioru.praca
Z twierdzenia Gödla o niezupełności wynika, iż dowolna \\\\\\”porządnie opisywalna\\\\\\” aksjomatyka liczb naturalnych do wnętrza języku pierwszego jest niezupełna. Zatem na rzecz każdego jej modelu (konstrukcji) istnieją takie zdania, które wszelako prawdziwe do wnętrza obrębie danej konstrukcji, nie dają się wyprowadzić z aksjomatów. Arytmetyki Peany PA nie da się dorzucić skończoną liczbą aksjomatów w rzeczy samej, iżby prawda każdego jej twierdzenia dawała się rozstrzygnąć. Matematycy znają takie twierdzenia teorii liczb (np. zapewnienie Goodsteina), których nie jest dozwolone udowodnić ani powalić na gruncie PA (choć wynikają one z aksjomatów Peany).praca
Aksjomat indukcji jest w największym stopniu problematycznym z aksjomatów Peano. Sprawia płeć brzydka, iż aksjomatyka liczb naturalnych nie jest wyrażona do wnętrza języku pierwszego około, niemniej jednak wewnątrz to (jak wykazał Richard Dedekind) jest płeć słaba kategoryczna, czyli każde dwie modele spełniające te aksjomaty są izomorficzne.praca